Kakeya 3D — l'aiguille qui balaie presque rien
Une aiguille de longueur 1 peut pointer dans toutes les directions de l'espace tout en ne balayant qu'un volume aussi petit que l'on veut. C'est la conjecture (et le théorème, en dimension 3) de Kakeya. Cette simulation construit — et mesure vraiment, sur une grille — un tel ensemble.
Construction 2D (coupe verticale)
L'aiguille tourne de 0° (verticale) à 90° (horizontale) dans un plan fixe. Chaque éclat coloré regroupe les aiguilles d'une petite plage d'angles ; on le glisse (translation, pas de rotation) pour qu'il chevauche au maximum ses voisins tout en gardant intacte sa propre aiguille.
Solide de révolution 3D
En faisant tourner la coupe 2D autour de l'axe vertical (tous les azimuts), le solide obtenu contient une aiguille dans chaque direction de l'espace (un hémisphère, doublé par symétrie). Glissez la souris pour orienter la vue.
La mesure s'effondre avec la profondeur
Volume total (sphère complète des directions) en fonction de n — chaque palier de subdivision supplémentaire réduit encore la mesure de l'ensemble balayé.
Le problème de l'aiguille de Kakeya
En 1917, Sōichi Kakeya pose la question suivante : quelle est la plus petite aire nécessaire pour faire pivoter une aiguille de longueur 1 de 180° dans le plan, en revenant à sa position de départ retournée ? Naïvement, faire tourner l'aiguille autour de son centre balaie un disque entier. Besicovitch a montré en 1919 que l'on peut faire beaucoup mieux : il existe des ensembles de Kakeya — des ensembles contenant un segment unité dans toutes les directions — dont l'aire (ou en dimension 3, le volume) peut être rendue aussi petite que l'on veut, en fait de mesure nulle à la limite.
La conjecture de Kakeya proprement dite, elle, ne porte pas sur la mesure (résolue) mais sur la dimension fractale de ces ensembles : bien que de mesure nulle, doivent-ils occuper « toute la place » au sens de la dimension de Minkowski/Hausdorff (dimension = n dans Rn) ? Elle a été démontrée en dimension 2 par Davies (1971), et un progrès majeur en dimension 3 a été obtenu par Wang et Zahl (2025). Cette simulation illustre le résultat de mesure (Besicovitch), la brique de base de toute cette histoire.
La construction : de l'arbre de Perron 2D au solide 3D
Étape 2D. On part d'un secteur de disque de rayon 1 couvrant les angles 0° à 90° (un « éventail » d'aiguilles partageant la même origine) : son aire vaut π/4. On découpe récursivement la plage d'angles en deux, encore et encore (arbre binaire de profondeur n, soit 2n paquets d'aiguilles très fins). Le point clé : à chaque regroupement de deux paquets, on cherche — par une recherche exhaustive sur une grille — le décalage horizontal qui minimise l'aire de leur union. Deux paquets fins pointant dans des directions voisines sont presque parallèles : on peut les faire glisser presque entièrement l'un sur l'autre, sans jamais changer l'angle (donc la direction) d'aucune aiguille. C'est cette translation — impossible si toutes les aiguilles restent collées à une origine commune — qui fait fondre l'aire.
Étape 3D. On fait tourner cette coupe 2D de 360° autour de l'axe vertical. Chaque point (x, y) de la coupe trace un cercle de rayon |x| : le volume du solide obtenu vaut exactement 2π ∫ |x| dA (intégrale numérique sur la grille, pas une formule approchée). Ce solide contient, pour chaque couple (élévation, azimut), une vraie aiguille de longueur 1 dans la direction correspondante — on couvre ainsi un hémisphère complet de directions ; l'hémisphère opposé s'obtient par symétrie, d'où le facteur 2 affiché dans les statistiques.
Limites de cette simulation
Les constructions optimales de la littérature (Perron, Besicovitch, Fefferman) utilisent des découpages et des décalages choisis analytiquement pour garantir une aire tendant vers zéro. Ici, le décalage à chaque étape est trouvé par une recherche gloutonne sur une grille discrète (~220×64 cellules) : la mesure affichée est une vraie mesure numérique de la construction obtenue (pas un chiffre théorique recopié), mais elle est limitée par la résolution de la grille — au-delà de n≈8-9, les paquets deviennent plus fins qu'une cellule et la mesure cesse de baisser utilement. Augmentez n pour voir la tendance : c'est elle, et non la valeur exacte à un n donné, qui illustre le théorème.