# Catalogue des formes d'arbres de cas Les 29 991 189 déductions de recoloration du corpus ont chacune un arbre de cas vérifié (`4CT_arbres_de_cas.md`). Écrits en positions relatives (0 = première arête active, dans l'ordre du bord) et à rotation et symétrie près, ces arbres n'ont que **60 321 formes** distinctes (484 453 schémas complets en comptant les rubans échangés aux feuilles). Il faut 11 formes pour couvrir 90 % des déductions, 505 pour 99 % et 30 330 pour 99,9 %. **Notation.** `n8:Q0(1:L,3:L,5:Q1(2:L,4:L),7:L)` se lit : 8 arêtes actives ; on demande à quelle arête est relié le ruban de l'arête 0 ; réponses 1, 3, 5 ou 7 ; `L` est une feuille, où un échange de rubans connus fait baisser le rang ; si la réponse est 5, on demande en plus le partenaire de l'arête 1. Les questions à réponse unique (rubans forcés) sont omises. Une forme couvre toujours tous les appariements, puisque chaque question a une branche par partenaire possible : pour l'appliquer à un mot, il suffit de vérifier ses feuilles. | Rang | Forme | Description | Déductions | Part | Cumul | Exemple | | ---: | --- | --- | ---: | ---: | ---: | --- | | 1 | `n8:Q0(1:L,3:L,5:L,7:L)` | étoile sur 8 arêtes actives : une seule question (le partenaire de l'arête 0), 4 réponses possibles, chacune conclut | 12 943 763 | 43,16 % | 43,16 % | `0.174369782` `121212131324` | | 2 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:L,7:L,9:L)` | étoile sur 10 arêtes actives : une seule question (le partenaire de l'arête 0), 5 réponses possibles, chacune conclut | 5 545 708 | 18,49 % | 61,65 % | `0.174369782` `121212123132` | | 3 | `n6:Q0(1:L,3:L,5:L)` | étoile sur 6 arêtes actives : une seule question (le partenaire de l'arête 0), 3 réponses possibles, chacune conclut | 4 627 229 | 15,43 % | 77,08 % | `0.174369782` `121212131323` | | 4 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:L,7:L,9:L,11:L)` | étoile sur 12 arêtes actives : une seule question (le partenaire de l'arête 0), 6 réponses possibles, chacune conclut | 1 307 230 | 4,36 % | 81,44 % | `0.174369782` `121212121343` | | 5 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:Q1(2:L,4:L),7:L,9:L)` | 10 arêtes actives, 2 questions, 6 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 620 034 | 2,07 % | 83,50 % | `0.174369782` `121212132143` | | 6 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:Q4(1:L,3:L),7:L,9:L)` | 10 arêtes actives, 2 questions, 6 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 570 935 | 1,90 % | 85,41 % | `0.174369782` `121212123134` | | 7 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:Q3(2:L,4:L),7:L,9:L)` | 10 arêtes actives, 2 questions, 6 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 388 916 | 1,30 % | 86,70 % | `0.174369782` `121212123243` | | 8 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:Q2(1:L,3:L),7:L,9:L)` | 10 arêtes actives, 2 questions, 6 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 336 483 | 1,12 % | 87,83 % | `0.174369782` `121231212124` | | 9 | `n4:Q0(1:L,3:L)` | étoile sur 4 arêtes actives : une seule question (le partenaire de l'arête 0), 2 réponses possibles, chacune conclut | 309 497 | 1,03 % | 88,86 % | `0.174369782` `121212121323` | | 10 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q11(8:L,10:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 2 questions, 7 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 277 151 | 0,92 % | 89,78 % | `0.174369782` `121212321214` | | 11 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q8(9:L,11:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 2 questions, 7 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 252 858 | 0,84 % | 90,63 % | `0.174369782` `121212131342` | | 12 | `n8:Q0(1:L,3:L,5:Q1(2:L,4:L),7:L)` | 8 arêtes actives, 2 questions, 5 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 215 433 | 0,72 % | 91,34 % | `0.174369782` `121231241412` | | 13 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:Q1(2:L,4:L),7:Q8(9:L,11:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 3 questions, 8 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5, 7 | 124 684 | 0,42 % | 91,76 % | `0.174369782` `121212121234` | | 14 | `n8:Q0(1:L,3:L,5:Q4(1:L,3:L),7:L)` | 8 arêtes actives, 2 questions, 5 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 102 317 | 0,34 % | 92,10 % | `0.174369782` `121212323423` | | 15 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:L,7:L,9:Q8(1:L,3:L,5:L,7:L))` | 10 arêtes actives, 2 questions, 8 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 9 | 100 214 | 0,33 % | 92,44 % | `0.174369782` `121232414312` | | 16 | `n8:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q6(1:L,3:L,5:L))` | 8 arêtes actives, 2 questions, 6 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 87 343 | 0,29 % | 92,73 % | `0.174369782` `121231324123` | | 17 | `n8:Q0(1:L,3:L,5:Q3(2:L,4:L),7:L)` | 8 arêtes actives, 2 questions, 5 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 79 436 | 0,26 % | 92,99 % | `0.174369782` `121213143142` | | 18 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q6(1:L,3:L,5:L),9:L)` | 10 arêtes actives, 2 questions, 7 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 73 914 | 0,25 % | 93,24 % | `0.174369782` `121212323142` | | 19 | `n14:Q0(1:L,3:L,5:L,7:L,9:L,11:L,13:L)` | étoile sur 14 arêtes actives : une seule question (le partenaire de l'arête 0), 7 réponses possibles, chacune conclut | 70 762 | 0,24 % | 93,47 % | `11057.380` `12121212131312` | | 20 | `n8:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q5(2:L,4:L,6:L))` | 8 arêtes actives, 2 questions, 6 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 70 391 | 0,23 % | 93,71 % | `0.174369782` `121212121313` | | 21 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q10(9:L,11:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 2 questions, 7 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 66 281 | 0,22 % | 93,93 % | `0.174369782` `121212123434` | | 22 | `n8:Q0(1:L,3:L,5:Q2(1:L,3:L),7:L)` | 8 arêtes actives, 2 questions, 5 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5 | 60 393 | 0,20 % | 94,13 % | `0.174369782` `121212313423` | | 23 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q9(8:L,10:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 2 questions, 7 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 59 869 | 0,20 % | 94,33 % | `0.211738082` `121232141412` | | 24 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:L,7:L,9:Q7(2:L,4:L,6:L,8:L))` | 10 arêtes actives, 2 questions, 8 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 9 | 54 190 | 0,18 % | 94,51 % | `0.174369782` `121321234313` | | 25 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q5(2:L,4:L,6:L),9:L)` | 10 arêtes actives, 2 questions, 7 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 53 290 | 0,18 % | 94,69 % | `0.174369782` `121231341434` | | 26 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:Q1(2:L,4:L),7:Q10(9:L,11:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 3 questions, 8 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5, 7 | 36 268 | 0,12 % | 94,81 % | `0.211738082` `121232121234` | | 27 | `n10:Q0(1:L,3:L,5:L,7:Q1(2:L,4:L,6:L),9:L)` | 10 arêtes actives, 2 questions, 7 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 7 | 35 655 | 0,12 % | 94,93 % | `0.174369782` `121314321212` | | 28 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:Q1(2:L,4:L),7:Q9(8:L,10:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 3 questions, 8 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5, 7 | 35 086 | 0,12 % | 95,05 % | `0.211738082` `121343124243` | | 29 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:Q3(2:L,4:L),7:Q8(9:L,11:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 3 questions, 8 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5, 7 | 32 599 | 0,11 % | 95,15 % | `0.174369782` `121232123434` | | 30 | `n12:Q0(1:L,3:L,5:Q4(1:L,3:L),7:Q8(9:L,11:L),9:L,11:L)` | 12 arêtes actives, 3 questions, 8 cas : on demande le partenaire de l'arête 0, puis une question de plus si la réponse est 5, 7 | 29 970 | 0,10 % | 95,25 % | `0.211738082` `121213121343` | ## Exemples complets Pour chacune des premières formes, l'arbre de son exemple, avec les échanges et les rangs (recalculé en Python ; sa forme coïncide avec celle du catalogue). Échanger un ruban X–Y applique la permutation de θ aux sommets de bord X+1 à Y ; les arêtes sont ici numérotées comme sur le bord. ### Forme 1 — `0.174369782`, mot `121212131324` (rang 19) θ = 2 (1↔3 et 2↔4) ; arêtes actives 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 ; 4 cas. ``` partenaire de l'arête 1 : 2 : échanger 1–2 → `121313141432` (0) 4 : (forcé : 2–3) échanger 1–4 et 2–3 → `121213141432` (0) 6 : (forcé : 10–12) échanger 1–6 et 10–12 → `123232131324` (0) 12 : échanger 1–12 → `123232313124` (0) ``` ### Forme 2 — `0.174369782`, mot `121212123132` (rang 6230) θ = 2 (1↔3 et 2↔4) ; arêtes actives 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12 ; 5 cas. ``` partenaire de l'arête 1 : 2 : échanger 1–2 → `121313134143` (911) 4 : échanger 1–4 → `123214143134` (3081) 6 : échanger 1–6 → `123232143134` (0) 8 : échanger 1–8 → `123232323134` (0) 12 : échanger 1–12 → `123232321312` (3437) ``` ### Forme 3 — `0.174369782`, mot `121212131323` (rang 18) θ = 1 (1↔2 et 3↔4) ; arêtes actives 7, 8, 9, 10, 11, 12 ; 3 cas. ``` partenaire de l'arête 9 : 8 : échanger 8–9 → `121212132323` (0) 10 : échanger 9–10 → `121212131423` (0) 12 : échanger 9–12 → `121212131414` (0) ``` ### Forme 4 — `0.174369782`, mot `121212121343` (rang 5) θ = 3 (1↔4 et 2↔3) ; arêtes actives 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ; 6 cas. ``` partenaire de l'arête 11 : 2 : (forcé : 1–12) échanger 1–12 et 2–11 → `121313131243` (0) 4 : échanger 4–11 → `121234343214` (0) 6 : échanger 6–11 → `121212343214` (0) 8 : (forcé : 9–10) échanger 9–10 → `121212121234` (2) 10 : échanger 10–11 → `121212121313` (3) 12 : échanger 11–12 → `121212121342` (4) ``` ### Forme 5 — `0.174369782`, mot `121212132143` (rang 25) θ = 3 (1↔4 et 2↔3) ; arêtes actives 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12 ; 6 cas. ``` partenaire de l'arête 1 : 2 : échanger 1–2 → `121313123142` (0) 4 : (forcé : 2–3) échanger 1–4 et 2–3 → `121213123142` (0) 6 : partenaire de l'arête 2 : 3 : (forcé : 4–5) échanger 2–3 et 4–5 → `123232142134` (0) 5 : échanger 2–5 → `123432142134` (0) 9 : (forcé : 11–12) échanger 11–12 → `121212132142` (24) 12 : échanger 1–12 → `123232342314` (0) ``` ### Forme 6 — `0.174369782`, mot `121212123134` (rang 7) θ = 2 (1↔3 et 2↔4) ; arêtes actives 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12 ; 6 cas. ``` partenaire de l'arête 7 : 2 : partenaire de l'arête 1 : 8 : échanger 1–8 et 2–7 → `121313124142` (0) 12 : échanger 1–12 et 2–7 → `121313121413` (0) 4 : échanger 4–7 → `121234323134` (0) 6 : échanger 6–7 → `121212323134` (0) 8 : échanger 7–8 → `121212134143` (0) 12 : échanger 7–12 → `121212131412` (0) ``` Vérifié par `experiments/build_schema_catalogue.py` : 0 écart(s) de forme entre Python et C.